Potències de representacions irreductibles dels grups puntuals finits

Potències de les irreps dels grups puntuals finits

Calculem els caràcters adaptats a la simetria permutacional d'acord amb la fórmula 3.8 de J.Planelles and C.M. Zicovich-Wilson, Int. J. Quantum Chem 47 (1993) 319.

A l'hora de mostrar resultats, seguim el criteri de Boyle , Int.J.Quantum Chem. 6 (1972) 725, en el sentit que dividim per la dimensió de la representació del grup Sn: Per exemple, en el càlcul de la tercera potència de la representació E del grup O, en la component en [2,1] que és de dimensió dos, mostrem E, quan hi ha dues E (una per cada component de [2,1]).

Exemplifiquem l'aplicació de la fórmula en el cas de la cinquena potència de l'irrep Eg del grup Oh adaptada a les classes de S5, com mostra aquesta imatge:

El càlcul de les potències de les representacions irreductibles reals unidimensionals és trivial: potències parelles generen la representació totalment simètrica, mentre que potències senars no alteren la representació. Per això dels 32 grups puntuals no incloem C1, C2, C2h,C2v,Ci, Cs i D2h. De la resta, encara que el càlcul de les representacions irreductibles reals unidimensionals és trivial, si que l'incloem.

Tria grup puntual:

Cal triar el número (irnum) de la representació irreductible que vols elevar a la n-èssima potència:

Cal de triar també la potència n = 2,3,4,5,6 ó 7 que vulgues calcular (per tant, has de triar el grup de permutacions Sn associat amb la potència n)

Tria potència n (i per tant, grup de permutacions Sn ):


Aquest és el programa que efectua el càlcul.

Ací pots descarregar una carpeta amb programa que efectua el càlcul. Descarrega la carpeta, obri el fitxer code_pot_grup_finit.nb llegeix la capçalera i segueix les instruccions

Exemple d'ús: càlcul dels termes de la configuració t2g3 d'un complex octaèdric (grup Oh ).

Per a la part orbital triem grup Oh, la representació irnum = 5, i acudim a la tercera potència (S3). El resultat és: {{[3]| A1g+ T1g+2 T2g},{[2 1]| Eg + T1g+ T2g},{[13],| A2g}}.

Per a l'espín (moment angular 1/2) acudim a la tercera potència de la representació D1/2 del grup SO(3). Trobem l'output: {{[3], D3/2},{[2 1],D1/2}}.

Combinant representacions conjugades de la part orbital i d'espín ([13] amb [3] i [2 1] amb [2 1]) trobem 4A1g+2E1g+2T1g+2T2g, que si contem les dimensions en resulten 4x1+2x(2+3+3) = 20. Efectivament, el nombre de microestats de la configuració t2g3 és Ω = (6!⁄3! 3!) = 20.